Brownian motion correlation in the peanosphere for $\kappa>8$

Abstract

La sphère de Peano (ou <<Accouplement d’arbres>>) construite par Duplantier, Miller, et Sheffield encode certains types de surfaces de $\gamma$-gravité quantique de Liouville (LQG) décorées par un $\operatorname{SLE}_{\kappa}$ (pour $\gamma\in(0,2)$ et $\kappa=16/\gamma^{2}>4$), en termes d’un mouvement Brownien $2$-dimensionnel corrélé et fournit un cadre pour montrer que les cartes planaires décorées par un modèle de physique statistique convergent vers un LQG décoré par un $\operatorname{SLE}$. Précédemment, la corrélation du mouvement Brownien était seulement explicitement identifiée à $-\cos(4\pi/\kappa)$ pour $\kappa\in(4,8]$, mais inconnue pour $\kappa>8$. Le résultat principal de ce travail est que cette formule reste vraie pour $\kappa>8$. Cela donne l’ingrédient manquant pour prouver les résultats de convergence mentionnés précédemment pour $\kappa>8$. Notre preuve est basée sur le calcul d’un exposant de queue pour le $\operatorname{SLE}_{\kappa}$ sur un coin quantique et sur son identification avec un exposant bien connu pour le mouvement Brownien.