Branching processes with interaction and a generalized Ray–Knight Theorem

Abstract

Nous considerons un modele d’evolution d’une population avec interaction entre les individus, ou les taux de naissance et de mort sont fonction de la taille de la population. Nous obtenons la limite en grande population apres renormalisation, qui est solution de l’EDS \[Z^{x}_{t}=x+\int_{0}^{t}f(Z^{x}_{s})\,\mathrm{d}s+2\int_{0}^{t}\int_{0}^{Z^{x}_{s}}W(\mathrm{d}s,\mathrm{d}u),\] ou $W(\mathrm{d}s,\mathrm{d}u)$ est un bruit blanc sur $[0,\infty)^{2}$. Nous donnons une representation de cette diffusion a la Ray–Knight, en fonction des temps locaux d’un mouvement brownien reflechi $H$ avec une derive qui depend du temps local accumule par $H$ a son niveau courant, a travers la fonction $f'/2$.