Abstract
Cet article concerne un mouvement brownien branchant (BBM) en deux particules avec un taux β|y|p pour une particule située en y∈ℝ, avec une constante β>0. Il est connu que pour p>2, le nombre de particules explose presque sûrement en temps fini, alors que pour p=2 le nombre de particules explose en moyenne en temps fini bien qu’il reste fini presque sûrement à tout moment. Nous définissons la particule la plus à droite Rt comme le supremum des positions spatiales des particules vivant à l’instant t et étudions les asymptotiques de Rt quand t tend vers l’infini. Dans le cas d’une reproduction à taux constant β, l’asymptotique linéaire de Rt est bien connue. Ici, nous trouvons des résultats asymptotiques pour Rt dans le cas où p∈(0, 2]. Contrastant avec les asymptotiques linéaires du BBM standard, nous trouvons des asymptotiques polynomiales de degré arbitrairement grand quand p croit vers 2, et une limite non triviale pour lnRt quand p=2. Nos preuves s’appuient sur certaines martingales positives et des changements de mesures.
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Schedule a callMore From: Annales de l'Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques
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