Boundary layer collapses described by the two-dimensional intermediate long-wave equation

Abstract

В рамках существенно двумерного обобщения уравнения Джозефа исследуется нелинейная динамика локализованных возмущений типичного сдвигового течения пограничного слоя в жидкости между двумя параллельными плоскостями, расстояние между которыми характеризуется безразмерным параметром $D$. В пределе больших и малых $D$ это уравнение переходит соответственно в двумерные уравнения Бенджамина-Оно и Захарова-Кузнецова. Показано, что если гамильтониан отрицателен, то любые локализованные начальные возмущения коллапсируют, т. е. взрывным образом растут, за конечное время образуя точечную сингулярность. Это происходит, когда амплитуда начального возмущения превышает определенный порог, зависящий от вида начального возмущения. Для аксиально-симметричных гауссовых и лоренцевых начальных возмущений с амплитудой $a$ и шириной $\sigma$ при различных значениях $D$ в явном виде получены нелинейные нейтральные кривые на плоскости $(a,\sigma)$, разделяющие области коллапса и затухания возмущения. Пороговое значение амплитуды $a$ растет с уменьшением $D$ и $\sigma$ и стремится к бесконечности при $D\to 0$. Двумерное уравнение Джозефа допускает стационарные аксиально-симметричные солитонные решения, для которых гамильтониан всегда отрицателен, они коллапсируют для всех $D$, кроме $D=0$. Однако для малых $D$ не доказана справедливость самого́ уравнения. С помощью прямого численного моделирования с гауссовыми и лоренцевыми начальными условиями показано, что начальные возмущения с амплитудой, превышающей найденный порог, коллапсируют самоподобным образом, а возмущения с амплитудами ниже порога затухают.