Boolean complexes and boolean numbers

Abstract

The Bruhat order gives a poset structure to any Coxeter group. The ideal of elements in this poset having boolean principal order ideals forms a simplicial poset. This simplicial poset defines the boolean complex for the group. In a Coxeter system of rank n, we show that the boolean complex is homotopy equivalent to a wedge of (n-1)-dimensional spheres. The number of these spheres is the boolean number, which can be computed inductively from the unlabeled Coxeter system, thus defining a graph invariant. For certain families of graphs, the boolean numbers have intriguing combinatorial properties. This work involves joint efforts with Claesson, Kitaev, and Ragnarsson. \par L'ordre de Bruhat munit tout groupe de Coxeter d'une structure de poset. L'idéal composé des éléments de ce poset engendrant des idéaux principaux ordonnés booléens, forme un poset simplicial. Ce poset simplicial définit le complexe booléen pour le groupe. Dans un système de Coxeter de rang n, nous montrons que le complexe booléen est homotopiquement équivalent à un bouquet de sphères de dimension (n-1). Le nombre de ces sphères est le nombre booléen, qui peut être calculé inductivement à partir du système de Coxeter non-étiquetté; définissant ainsi un invariant de graphe. Pour certaines familles de graphes, les nombres booléens satisfont des propriétés combinatoires intriguantes. Ce travail est une collaboration entre Claesson, Kitaev, et Ragnarsson.