Blue Sky Catastrophe in Systems with Non-classical Relaxation Oscillations

S D Glyzin,N Kh Rozov,A Yu Kolesov

doi:10.18255/1818-1015-2015-1-38-64

Abstract

The feasibility of the well-known blue sky bifurcation in a class of three-dimensional singularly perturbed systems of ordinary differential equations with one fast and two slow variables is studied. A characteristic property of the considered systems is that so-called nonclassical relaxation oscillations occur in them. The same name is used for oscillations with slow components, which are asymptotically close to some time-discontinuous functions and a δ-like fast component. Cases when the blue sky catastrophe results in a stable relaxation cycle or a stable two-dimensional invariant torus are analyzed. The problem of the appearance of homoclinic structures is also considered.

Highlights

Исследуется вопрос о реализуемости известной бифуркации типа катастрофы голубого неба в некотором классе трехмерных сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с одной быстрой и двумя медленными переменными
У которых медленные компоненты асимптотически близки к некоторым разрывным по времени функциям, а быстрая компонента δ-образна
Ломоносова, д-р физ.-мат. наук, профессор, член-корреспондент РАЕН, декан факультета педагогического образования

Summary

Постановка задачи

Прежде всего скажем несколько слов о сути катастрофы голубого неба. Этим термином принято называть нелокальную бифуркацию коразмерности один, которая в простейшем случае состоит в следующем. Предполагаем, что при μ = 0 все траектории системы (5) с начальными условиями, принадлежащими кривой l1, за конечное время попадают на l2 Действительно, будем считать точку x0 настолько близкой к кривой l1, что g0(x0) > 0, а для траектории x = x(t, x0) системы (5) при μ = 0 сохраняется условие 4. Из свойств (19), (20) и неравенства d0 > 0 следует, что при μ ∈ [−μ0, 0) отображение (18) имеет две неподвижные точки s±(μ) = ± −α0μ/d0 + O(μ), которым в системе (8) соответствуют два цикла – устойчивый L−(μ) и неустойчивый L+(μ), L±(0) = L0. На указанном участке фазовая точка (21) находится в асимптотически малой окрестности кривой x2(t, μ), y2(t, μ) , где y2(t, μ) = Φ−(x2(t, μ)), а x2(t, μ) – решение задачи Коши для системы (8) с начальным условием x2(t, μ)|t=t1(μ) = x2(μ). И при некотором дополнительном условии, о котором будет сказано ниже

Основные конструкции

Сводка результатов

Заключение