Bijective enumeration of permutations starting with a longest increasing subsequence

Abstract

We prove a formula for the number of permutations in $S_n$ such that their first $n-k$ entries are increasing and their longest increasing subsequence has length $n-k$. This formula first appeared as a consequence of character polynomial calculations in recent work of Adriano Garsia and Alain Goupil. We give two "elementary' bijective proofs of this result and of its q-analogue, one proof using the RSK correspondence and one only permutations. Nous prouvons une formule pour le nombre des permutations dans $S_n$ dont les premiers $n-k$ entrées sont croissantes et dont la plus longue sous-suite croissante est de longueur $n-k$. Cette formule est d'abord apparue en conséquence de calculs sur les polynômes caractères des travaux récents de Adriano Garsia et Alain Goupil. Nous donnons deux preuves bijectifs "élémentaires" de cet résultat et de son q-analogue, une preuve employant le correspondance RSK et une autre n'employant que les permutations.