Asymptotics of the density of parabolic Anderson random fields

Abstract

Nous étudions la forme de la densité ρ(t,x;y) de la solution u(t,x) de l’équation différentielle partielle stochastique ∂∂tu(t,x)=12Δu(t,x)+u◇W˙(t,x), où W˙ est un bruit gaussien général et ◇ désigne le produit Wick. Nous visons principalement au comportement asymptotique de ρ(t,x;y) quand y→∞ ou quand t→0+. À la fois des bornes supérieur et inférieures sont obtenues et ces deux bornes correspondent modulo à certaines constantes multiplicatives. Si la condition initiale est positive, alors ρ(t,x;y) est supporté sur la demi-droite positive y∈[0,∞) et dans ce cas nous montrons que ρ(t,x;0+)=0 et obtenons une borne supérieure pour ρ(t,x;y) quand y→0+.