Abstract
The Takagi function is a simple example of a continuous yet nowhere differentiable function and is given as T(x) = Σk=0∞ 2−n ρ(2 n x), where \(\rho (x) = \mathop {\min }\limits_{k \in \mathbb{Z}} |x - k|\). The moments of the Takagi function are given as M n = ∫01x n T(x)dx. The estimate \({M_n} = \frac{{1nn - \Gamma '(1) - 1n\pi }}{{{n^2}1n2}} + \frac{1}{{2{n^2}}} + \frac{2}{{{n^2}1n2}}\phi (n) + O({n^{ - 2.99}})\), where the function \(\phi (x) = \sum\nolimits_{k \ne 0} \Gamma (\frac{{2\pi ik}}{{1n2}})\zeta (\frac{{2\pi ik}}{{1n2}}){x^{ - \frac{{2\pi ik}}{{1n2}}}}\) is periodic in log2x and Γ(x) and ζ(x) denote the gamma and zeta functions, is the principal result of this work.
Highlights
Моменты функции Такаги задаются как2πik ln 2 ln 2 ln 2 k=0 является периодической от log x, а через Γ(x) и ζ(x) обозначаются гамма и дзета-функции.
Ключевые слова: моменты, само-подобие, функция Такаги, сингулярная функция, преобразование Меллина, асимптотика.
Для цитирования: Tимофеев Е.А., "Асимптотика моментов функции Такаги", Моделирование и анализ информационных систем, 23:1 (2016), 5–11.
Summary
2πik ln 2 ln 2 ln 2 k=0 является периодической от log x, а через Γ(x) и ζ(x) обозначаются гамма и дзета-функции. Ключевые слова: моменты, само-подобие, функция Такаги, сингулярная функция, преобразование Меллина, асимптотика. Для цитирования: Tимофеев Е.А., "Асимптотика моментов функции Такаги", Моделирование и анализ информационных систем, 23:1 (2016), 5–11. Функция Такаги определяется на единичном отрезке следующим образом:. График функции T (x) показан на рис. 1. Функция Такаги появляется в различных областях математики Изучению свойств функции Такаги посвящены сотни работ. В [4, 6] найдено рекуррентное уравнение для моментов этой функции. В настоящей работе находятся асимптотики моментов этой функции. Де Рам [5] показал, что T (x) является единственным непрерывным решением функционального уравнения. Рекуррентное уравнение для моментов Mn функции, которая удовлетворяет (3), имеет следующий вид
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Disclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.