ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF RESISTANCE DISTANCES IN CAYLEY GRAPHS

M M Vaskouski,A O Zadorozhnyuk

doi:10.29235/1561-8323-2018-62-2-140-146

Abstract

In the present paper, we prove asymptotically exact bounds for resistance distances in families of Cayley graphs that either have a girth of more than 4 or are free of subgraphs K 2,t, assuming that the growth function is at least subexponential, and either the diameter or the inverse value of the spectral gap are polynomial with respect to degrees of a graph.

Highlights

In the present paper, we prove asymptotically exact bounds for resistance distances in families of Cayley graphs that either have a girth of more than 4 or are free of subgraphs K 2,t, assuming that the growth function is at least subexponential, and either the diameter or the inverse value of the spectral gap are polynomial with respect to degrees of a graph
Графом Кэли Cay(Г, T) группы с порождающим множеством T называется неориентированный граф, у которого множество вершин совпадает с множе
The spectral gap of graphs arising from substring reversals / F

Summary

Тогда для этого семейства выполняется равенство

Для «малых» множеств будем оценивать мощность границы, основываясь на максимальном возможном числе ребер в графе, не содержащем подграфов определенного вида [10, Глава 10], используя при этом условие A1. Из доказательства теоремы 6.20 в [12, Глава 6] следует, что для любого множества A ⊂ V в графе Кэли конечной группы верно неравенство. Мы имеем неравенство что знаменатель в правой части не больше чем из которого получаем. Из теоремы 10.2.4 [10] следует, что двудольный граф с долями m1, m2 и без K 2,t имеет не более чем (t -1)m2 (m1 -1) + m2 ≤ M | A |3/2 ребер. Этот подграф тоже двудольный и не содержит K 2,t , поэтому в нем не более чем (| ∂V A | -1) (t -1) | A |+ | A | ребер.

Это позволяет нам оценить сумму

Перейдем к случаю

Список использованных источников