Approximations, widths and optimal quadrature formulae for classes of periodic functions with rearrangement invariant sets of derivatives

Abstract

ПустьL1 — пространств о интегрируемых на пе риоде вещественных 2π — пери одических функций с соответств ующей нормой ∥ · ∥1;H — конечномерное подп ространствоL1;а, β>0. Пусть $$E(f;H)_{1:\alpha ,\beta } = \inf \{ ||\alpha (f - u)_ + + \beta (f - u)_ - ||_1 :u \varepsilon H\} .$$ Для классовWrJ (r=1, 2,...) дифф еренцируемых период ических функций с перестанов очно инвариантными множе ствами производныхJ вычисляем величины $$E(W^r J;H)_{1:\alpha ,\beta } = \sup \{ E(f;H)_{1:\alpha ,\beta } :f\varepsilon W^r J\} ;$$ в случаях, когдаH — мно жество тригонометри ческих полиномов порядка ≦ n- 1, n=1, 2,..., или множество полино миальных сплайнов по рядка μ (μ ≧r), дефекта 1, с узламиkπn− 1,k=0, ±1, ±2, ...