Abstract
Let k be a totally real number field ant let k$\infty$ be its cyclotomic Zp-extension for a prime p\textgreater{}2. We give (Theorem 3.2) a sufficient condition of nullity of the Iwasawa invariants lambda, mu, when p totally splits in k, and we obtain important tables of quadratic fields and p for which we can conclude that lambda = mu=0.We show that the number of ambiguous p-classes of kn (nth stage in k$\infty$) is equal to the order of the torsion group T, of the Galois group of the maximal Abelian p-ramified pro-p-extension of k (Theorem 4.2), for all n \textgreater{}\textgreater{} e, where p^e is the exponent of U*/ adh(E) (in terms of local and global units of k). Then we establish analogs of Chevalley's formula using a family (Lambda\_i^n)\_{0$\le$i$\le$m\_n} of subgroups of k* containing E, in which any x is norm of an ideal of kn. This family is attached to the classical filtration of the p-class group of kn defining the algorithm of computation of its order in m\_n steps. From this, we prove (Theorem 6.1) that m\_n $\ge$ (lambda.n + mu.p^n + nu)/v\_p(T\_k) and that the condition m\_n = O(1) (i.e., lambda = mu=0) essentially depends on the P-adic valuations of the (x^(p-1)-1)/p, x in Lambda\_i^n, for P I p, so that Greenberg's conjecture is strongly related to "Fermat quotients" in k*. Heuristics and statistical analysis of these Fermat quotients (Sections 6, 7, 8) show that they follow natural probabilities, linked to T\_k whatever n, suggesting that lambda = mu=0 (Heuristics 7.1, 7.2, 7.3). This would imply that, for a proof of Greenberg's conjecture, some deep p-adic results (probably out of reach now), having some analogy with Leopoldt's conjecture, are necessary before referring to the sole algebraic Iwasawa theory.
Highlights
Nous appelons Conjecture de Greenberg pour les corps de nombres totalement réels k, le fait que les invariants d’Iwasawa λp(k) et μp(k), associés à la limite projective des p-groupes de classes d’idéaux dans la p-tour cyclotomique k∞, sont nuls
Il s’agit probablement d’une question liée au seul invariant λ dans la mesure où la nullité de μ peut être admise plus facilement pour les corps totalement réels car, d’après l’étude de [22] dans un cadre très général : Both in Iwasawa’s work, and in the present one, the size of the μinvariant appears to be intimately related to the existence of primes that split completely in the tower
« On p-adic zeta functions and Zp-extensions of certain totally real number fields », Tohoku Math
Summary
Nous appelons Conjecture de Greenberg pour les corps de nombres totalement réels k, le fait que les invariants d’Iwasawa λp(k) et μp(k), associés à la limite projective des p-groupes de classes d’idéaux dans la p-tour cyclotomique k∞, sont nuls (quel que soit le nombre premier p). Seul Ek ∩NK/k(K×), donné par le corps de classes local, est accessible en pratique, NK/k(EK) étant un invariant arithmétique non trivial associé à l’extension K/k, en relation avec les problèmes de capitulation de classes d’idéaux, ce qui explique la difficulté du calcul de λ et μ en termes d’unités globales (éventuellement comparées aux unités cyclotomiques du cadre Abélien comme dans [33] pour le cas non décomposé). Il en résulte que la condition λ = μ = ν = 0 équivaut (sous la conjecture de Leopoldt pour où Hkpr est p la dans k) à la nullité du groupe de torsion Tk de Gal(Hkpr/k), pro-p-extension Abélienne p-ramifiée maximale de k (en effet, dans ce cas, #Tk = #C k · Rk), ce qui équivaut à la p-rationalité de k (notion définie dans [16, §IV.3], [20], [32], [35])
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