APPLICATION OF FUNCTIONAL RELATIONS TO MODELING BY MEANS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS

E Kenenbaev,L Askar Kyzy,Dzh A Akerova

doi:10.35803/1694-5298.2020.3.454-458

Abstract

Modeling by means of differential equations is considered in the paper. Their solutions are constructed on the base of functional relations connecting values of a solution of the equation in different points (infinite or finite set of values). For examples, even, odd and periodical solutions, Vallée-Poussin’s assertion, Lagrange interpolation polynomial, Hermite interpolation polynomial, spline-functions for ordinary differential equations, Asgeirsson’s identity and its generalizations for partial differential equations of hyperbolic type, “mean value” for partial differential equations of elliptic type are considered. Also, if an equation is close to one of considered types then an assertion is to be fulfilled approximately. Some estimations are found for such examples. An application of such relations to investigate some problems of interpolation and extrapolation is demonstrated.

Highlights

Modeling by means of differential equations is considered in the paper
Their solutions are constructed on the base of functional relations connecting values of a solution of the equation in different points
Some estimations are found for such examples. An application of such relations to investigate some problems of interpolation and extrapolation is demonstrated

Summary

Уравнение первого порядка с известной правой частью и нулевым начальным условием y (x)=a, y(0)=0, a 0

Значения линейной функции от одной скалярной переменной в двух ненулевых точках должны быть согласованы (будем записывать все соотношения с нулевой правой частью): y(x[1])x[2] y(x[2])x[1]=0. Значения решения от одной скалярной переменной в трех точках должны быть согласованы:. Значения такой функции-многочлена от одной скалярной переменной в (k+1). Построим по значениям x[1], x[2],...,x[k] и y[1], y[2],...,y[k]интерполяционный многочлен Лагранжа L(x)(k 1)-порядка, должно быть L(x[k+1])=y[k+1]. Если еще заданы значения производных в некоторых точках, то применяем интерполяционный многочлен Эрмита: для заданных чисел , , , 1. . , 1, существует единственное решение уравнения y(n)(x)=0 многочлен степени. Первый результат о связи между значениями решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения в различных точках получил C.J.Dela Vallée Poussin для уравнения y(n)(x)+p1(x) y(n 1)(x)+...+ pn(x) y(x) = 0, a x b,pk(x) C[a,b], c условиямиy(x[i]) = c[i], i=1,..., nимеет единственное решение при ограничении на нормы функций-коэффициентов. В ряде работах [5], [6], рассмотрена классификация уравнений более высокого порядка или с большим числом независимых переменных.

Уравнение

Решение гиперболического уравнения

Решение гиперболического уравнения для двух пространственных переменных