Abstract
In this paper we propose numerical methods for solving interior and exterior boundary-value problems for the Helmholtz and Laplace equations in complex three-dimensional domains. The method is based on their reduction to boundary integral equations in R2. Using the potentials of the simple and double layers, we obtain boundary integral equations of the Fredholm type with respect to unknown density for Dirichlet and Neumann boundary value problems. As a result of applying integral equations along the boundary of the domain, the dimension of problems is reduced by one. In order to approximate solutions of the obtained weakly singular Fredholm integral equations we suggest general numerical method based on spline approximation of solutions and on the use of adaptive cubatures that take into account the singularities of the kernels. When constructing cubature formulas, essentially non-uniform graded meshes are constructed with grading exponent that depends on the smoothness of the input data. The effectiveness of the method is illustrated with some numerical experiments.
Highlights
In this paper we propose numerical methods for solving interior and exterior boundaryvalue problems for the Helmholtz and Laplace equations in complex three-dimensional domains
The method is based on their reduction to boundary integral equations in R2
In order to approximate solutions of the obtained weakly singular Fredholm integral equations we suggest general numerical method based on spline approximation of solutions and on the use of adaptive cubatures that take into account the singularities of the kernels
Summary
В настоящей работе рассматриваются краевые задачи для уравнений Лапласа и Гельмгольца в трехмерных областях. Уравнения Лапласа, Гельмгольца и Пуассона относятся к классу эллиптических задач, для решения которых разработан метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), позволяющий свести трехмерные краевые задачи к интегральным уравнениям. Основная идея метода заключаеся в представлении решения краевой задачи в виде так называемых поверхностных потенциалов. Такое представление позволяет переформулировать краевую задачу в виде ГИУ, заданного на замкнутой поверхности, которая является границей области, в которой требуется найти решение. Различные численные алгоритмы решения ГИУ для уравнений Лапласа и Гельмгольца рассматривались в работах [4], [5]. Что краевые задачи Дирихле и Неймана для эллиптических уравнений можно свести к слабосингулярным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Для решения уравнений данного класса в работе предлагается численный метод, основанный на применении сплайн-коллокационной техники на специальных адаптивных сетках, учитывающих сингулярности
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callMore From: Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva
Disclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
