Annealed vs quenched critical points for a random walk pinning model

Abstract

Nous considérons le modèle de marche aléatoire avec pinning suivant : étant donné une marche aléatoire simple Y sur ℤd qui sert d’environnement aléatoire, on se donne une mesure de Gibbs sur les trajectoires d’une marche aléatoire X jusqu’au temps t de Hamiltonien −Lt(X, Y) où Lt(X, Y) est le temps local d’intersection entre X et Y jusqu’au temps t. Ce modèle apparaît naturellement dans des contextes variés tels que l’étude du modèle parabolique d’Anderson avec catalyseurs mouvants, l’étude du modèle parabolique d’Anderson avec bruit Brownien ainsi que dans le cadre de l’étude de polymères dirigés. Ce modèle appartient à la même classe que les modèles de pinning et copolymères et présente une transition localisation / délocalisation quand la température inverse β varie. Nous montrons qu’en dimension d=1, 2 les valeurs critiques annealed et quenched de β sont toutes deux 0 mais que en dimension d≥4 la valeur critique quenched de β est strictement supérieure à la valeur annealed (qui est positive). Ceci entraine l’existence de certains régimes intermédiaires pour le modèle parabolique de Anderson avec bruit Brownien et pour les polymères dirigés. Pour d≥5 des résultats similaires ont été récemment établis par Birkner, Greven et den Hollander [Quenched LDP for words in a letter sequence (2008)] via un principe de grandes déviations quenched. Notre preuve se fonde sur la méthode des moments fractionnaires utilisée récemment par Derrida, Giacomin, Lacoin et Toninelli [Comm. Math. Phys. 287 (2009) 867–887] pour établir la non-coïncidence des valeurs critiques quenched et annealed du modèle de pinning dans le régime lié au désordre. Le cas de la dimension critique d=3 reste ouvert.