An upper bound on the two-arms exponent for critical percolation on Zd

Abstract

Nous considérons la percolation critique par sites dans Zd pour d≥2. Cerf (Ann. Probab. 43 (2015) 2458–2480) a montré, en s’appuyant sur des travaux classiques dûs à Aizenman, Kesten et Newman (Comm. Math. Phys. 111 (1987) 505–532) et Gandolfi, Grimmett and Russo (Comm. Math. Phys. 114 (1988) 549–552), que l’exposant critique à deux-bras est au moins égal à 1/2. L’article de Cerf améliore cette borne inférieure. Sauf dans le cas d=2 ou en grande dimension, il ne semble pas que la litérature contienne une borne supérieure pour cette exposant (même pas de manière implicite). Nous prouvons que la probabilité de “deux bras à distance n” est au moins cn−(d2+4d−2) (où c>0 est une constante qui peut dépendre de la dimension d). Ainsi, l’exposant mentionné est inférieur ou égal à d2+4d−2.