An inexact proximal algorithm for variational inequalities

Abstract

An inexact proximal algorithm for variational inequalities O. Sarmiento, E. A. Papa Quiroz and P. R. Oliveira Programa de Ingeniería de Sistemas y Computación - COPPE, Universidad Federal de Rio de Janeiro, 68511 CEP: 21941-972, Rio de Janeiro, Brasil. DOI: https://doi.org/10.33017/RevECIPeru2015.0018/ Abstract This paper presents a new inexact proximal method for solving monotone variational inequality problems with a given separable structure. The resulting method combines the recent proximal distances theory introduced by Auslender and Teboulle (2006) with a decomposition method given by Chen and Teboulle that was proposed to solve convex optimization problems. This method extends and generalizes proximal methods using Bregman, Phi-divergences and Quadratic logarithmic distances. Taking mild assumptions we prove that the primal-dual sequences produced by algorithm is well-defined and converge to optimal solution of the variational inequality problem. Furthermore, we show some numerical experiments, for the particular case to solve convex optimization problem, showing that the algorithm is perfectly implementable. Keywords: Inexact proximal method, variational inequality, separable structure, proximal distances. Resumen En este artículo presentamos un nuevo método proximal inexacto para resolver problemas de desigualdad variacional monótono con una estructura separable. El método resultante combina la reciente teoria de distancias proximales introducidas por Auslender y Teboulle (2006) con un método de descomposición proximal dado por Chen y Teboulle que fue propuesto para resolver problemas de optimización convexa. Este método extiende y generaliza métodos proximales usando distancias de Bregman, Phi-divergencias y logaritmo cuadrático, Asumiendo hipotesis adecuadas probamos que la sucesión primal-dual generada por el algoritmo está bien definido y converge a la solución óptima de un problema de desigualdad variacional. Además presentamos algunos resultados computacionales para el caso particular de resolver problemas de optimización convexa, mostrando asi que el algoritmo es perfectamente implementable. Descriptores: Método proximal inexacto, desigualdad variacional, estructura separable, distancias proximales.