An extension of Tamari lattices

Abstract

For any finite path $v$ on the square lattice consisting of north and east unit steps, we construct a poset Tam$(v)$ that consists of all the paths lying weakly above $v$ with the same endpoints as $v$. For particular choices of $v$, we recover the traditional Tamari lattice and the $m$-Tamari lattice. In particular this solves the problem of extending the $m$-Tamari lattice to any pair $(a; b)$ of relatively prime numbers in the context of the so-called rational Catalan combinatorics.For that purpose we introduce the notion of canopy of a binary tree and explicit a bijection between pairs $(u; v)$ of paths in Tam$(v)$ and binary trees with canopy $v$. Let $(\overleftarrow{v})$ be the path obtained from $v$ by reading the unit steps of $v$ in reverse order and exchanging east and north steps. We show that the poset Tam$(v)$ is isomorphic to the dual of the poset Tam$(\overleftarrow{v})$ and that Tam$(v)$ is isomorphic to the set of binary trees having the canopy $v$, which is an interval of the ordinary Tamari lattice. Thus the usual Tamari lattice is partitioned into (smaller) lattices Tam$(v)$, where the $v$’s are all the paths of length $n-1$ on the square lattice.We explain possible connections between the poset Tam$(v)$ and (the combinatorics of) the generalized diagonal coinvariant spaces of the symmetric group. Pour tout chemin $v$ sur le réseau carré formé de pas Nord et Est, nous construisons un ensemble partiellement ordonné Tam $(v)$ dont les éléments sont les chemins au dessus de $v$ et ayant les mêmes extrémités. Pour certains choix de $v$ nous retrouvons le classique treillis de Tamari ainsi que son extension $m$-Tamari. En particulier nous résolvons le problème d’étendre le treillis $m$-Tamari à toute paire $(a; b)$ d’entiers premiers entre eux dans le contexte de la combinatoire rationnelle de Catalan.Pour ceci nous introduisons la notion de canopée d’un arbre binaire et explicitons une bijection entre les paires $(u; v)$ de chemins dans Tam$(v)$ et les arbres binaires ayant la canopée $v$. Soit $(\overleftarrow{v})$ le chemin obtenu en lisant les pas en ordre inverse et en échangeant les pas Est et Nord. Nous montrons que Tam$(v)$ est isomorphe au dual de Tam$(\overleftarrow{v})$ et que Tam$(v)$ est isomorphe à l’ensemble des arbres binaires ayant la canopée $v$, qui est un intervalle du treillis de Tamari ordinaire. Ainsi le traditionnel treillis de Tamari admet une partition en plus petits treillis Tam$(v)$, où les $v$ sont tous les chemins de longueur $n-1$ sur le réseau carré. Enfin nous explicitons les liens possibles entre l’ensemble ordonné Tam$(v)$ et (la combinatoire des) espaces diagonaux coinvariants généralisés du groupe symétrique.