Algèbres simples centrales à involution de première espèce

Abstract

Le présent travail a pour but de fournir des preuves nouvelles et élémentaires de quelques résultats clés en théorie des algèbres simples centrales à involution. Il vise à permettre au lecteur familier des notions de base sur les algèbres simples centrales et sur les involutions (rappelées en Section~2) d'aborder directement la question de la structure des algèbres admettant une involution de première espèce. On traite en premier lieu le critère d'existence d'involutions de première espèce, dû à A. A. Albert, ainsi qu'un théorème d'extension d'une involution de M. Kneser, ici pour une involution de première espèce. Ces deux résultats sont ob\-tenus comme corollaires du théorème~1 qui donne un critère simple pour qu'un anti-automorphisme d'une algèbre simple centrale soit une involution. Deux exemples indiquent que cette approche ne s'applique pas aux involutions de deuxième espèce. On démontre ensuite, à partir des propriétés usuelles des algèbres de quaternions, deux résultats, dûs à \mbox{Albert} et à J.-P. Tignol et L.~H.~Rowen, sur la structure des algèbres simples centrales à involution de première espèce et de degré~$4$.