Adiabatic Evolution and Shape Resonances

Abstract

Motivated by a problem of one mode approximation for a non-linear evolution with charge accumulation in potential wells, we consider a general linear adiabatic evolution problem for a semi-classical Schrödinger operator with a time dependent potential with a well in an island. In particular, we show that we can choose the adiabatic parameter ε \varepsilon with ln ⁡ ε ≍ − 1 / h \ln \varepsilon \asymp -1/h , where h h denotes the semi-classical parameter, and get adiabatic approximations of exact solutions over a time interval of length ε − N \varepsilon ^{-N} with an error O ( ε N ) {\mathcal O}(\varepsilon ^N) . Here N > 0 N>0 is arbitrary. \center Résumé \endcenter Motivés par un problème d’approximation à un mode pour une évolution avec accumulation de charge dans des puits de potentiel, nous considérons un problème d’évolution linéaire pour un opérateur de Schrödinger avec un potentiel dépendant du temps avec un puits dans une île. En particular, nous montrons que nous pouvons choisir le paramètre adiabatique ε \varepsilon avec ln ⁡ ε ≍ − 1 / h \ln \varepsilon \asymp -1/h , où h h désigne le paramètre semi-classique, et obtenir des approximations adiabatiques de solutions exactes sur des intervalles de temps de longueur ε − N \varepsilon ^{-N} avec une erreur O ( ε N ) {\mathcal O}(\varepsilon ^N) . Ici N > 0 N>0 est arbitraire.