Adaptive time-stepping for aggregation-shattering kinetics

Abstract

We propose an experimental study of adaptive time-stepping methods for efficient modeling of the aggregation-fragmentation kinetics. Precise modeling of this phenomena usually requires utilization of the large systems of nonlinear ordinary differential equations and intensive computations. We study the performance of three explicit Runge–Kutta time-integration methods and provide simulations for two types of problems: finding of equilibrium solutions and simulations for kinetics with periodic solutions. The first class of problems may be analyzed through the relaxation of the solution to the stationary state at large time. In this case, the adaptive time-stepping may help to reach this state using big steps reducing cost of the calculations without loss of accuracy. In the second case, the problem becomes numerically unstable at certain points of the phase space and may require tiny steps making the simulations very time-consuming. Adaptive criteria allows to increase the steps for most of the remaining point and speedup simulations significantly. Мы предлагаем экспериментальное исследование методов интегрирования по времени с адаптивными шагами по времени для эффективного моделирования кинетики агрегации-фрагментации. Точное моделирование этого явления обычно требует использования больших систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и интенсивных вычислений. Мы исследуем производительность трех явных методов Рунге–Кутты и проводим моделирование для двух типов задач: нахождение равновесных решений и моделирование для кинетики с периодическими решениями. Первый класс задач может быть проанализирован посредством релаксации решения к стационарному состоянию на больших временах. В этом случае адаптивные временные шаги могут помочь достичь этого состояния с использованием больших шагов, снижая стоимость вычислений без потери точности. Во втором случае задача оказывается численно неустойчивой в определенных точках фазового пространства и может потребовать крошечных шагов, что делает моделирование с постоянными шагами очень трудоемким. Адаптивные критерии позволяют увеличить шаги для большинства оставшихся точек и значительно ускорить моделирование.