Activated random walk on a cycle

Abstract

Nous considérons la marche aléatoire activée (Activated Random Walk, ARW), un système de particules avec conservation de masse sur le cycle $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Partant d’un état initial avec une densité $\mu >0$ de particules actives, chacune d’entre elles évolue selon une marche simple symétrique à taux $1$, et s’endort à taux $\lambda >0$. Les particules endormies deviennent actives lorsqu’elles entrent en contact avec d’autres particules actives. Plusieurs résultats récents se sont penchés sur la fixation ou la non-fixation de la dynamique en volume infini, en fonction des paramètres $\mu $ et $\lambda $. Sur le graphe fini $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, à moins qu’il y ait plus de $n$ particules, le processus se fixe (en atteignant un état absorbant) presque sûrement en temps fini. Nous établissons un premier résultat rigoureux sur ces systèmes finis, confirmant des prédictions bien connues de la littérature de physique statistique, en montrant que le nombre d’étapes avant fixation est linéaire en $n$ (à des termes poly-logarithmiques près) lorsque la densité est suffisamment petite par rapport au taux d’endormissement, et exponentielle en $n$ lorsque le taux d’endormissement est suffisamment petit par rapport à la densité, ce qui reflète la transition de phase entre fixation et non-fixation établie dans (Invent. Math. 188 (2012) 127–150) pour le système infini.