Absence of percolation for Poisson outdegree-one graphs

Abstract

Nous considérons des graphes orientés dont l’ensemble des sommets est donné par un processus ponctuel de Poisson et tels que chaque sommet admette une et une seule arête sortante. Le résultat principal de ce papier est l’absence de percolation pour de tels graphes satisfaisant deux hypothèses. L’hypothèse Shield stipule que l’état du graphe localement ne dépend que de son voisinage, tandis que l’hypothèse Loop prétend que toute branche orientée du graphe échoue sur un cycle dès qu’un ensemble (fini) de sommets bien choisis est ajouté au processus de Poisson. Plusieurs modèles intéressants satisfont ces deux hypothèses générales et, par conséquent, ne percolent pas. Nous résolvons ainsi dans Theorem 3.1 une conjecture de Daley et al. sur l’absence de percolation pour le “line-segment model” (Conjecture 7.1 de (Probab. Math. Statist. 36 (2016) 221–246), également discutée dans (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 52 (2016) 127–145)). Dans ce modèle bidimensionnel, un segment pousse depuis chaque point du processus de Poisson jusqu’à ce qu’il heurte un autre segment, stoppant ainsi sa croissance. Les directions dans lesquelles poussent les segments sont choisies uniformément sur la sphère et indépendamment les unes des autres. Enfin, un autre modèle dit de navigation est présenté et satisfait aussi les hypothèses Shield et Loop.