A uniform realization of the combinatorial $R$-matrix

Abstract

Kirillov-Reshetikhin (KR) crystals are colored directed graphs encoding the structure of certain finite-dimensional representations of affine Lie algebras. A tensor product of column shape KR crystals has recently been realized in a uniform way, for all untwisted affine types, in terms of the quantum alcove model. We enhance this model by using it to give a uniform realization of the combinatorial $R$-matrix, i.e., the unique affine crystal isomorphism permuting factors in a tensor product of KR crystals. In other words, we are generalizing to all Lie types Schützenberger’s sliding game (jeu de taquin) for Young tableaux, which realizes the combinatorial $R$-matrix in type $A$. We also show that the quantum alcove model does not depend on the choice of a sequence of alcoves Les cristaux de Kirillov–Reshetikhin (KR) sont des graphes orientés avec des arêtes étiquetées qui encodent certaines représentations de dimension finie des algèbres de Lie affines. Les produits tensoriels des cristaux KR de type colonne ont été récemment réalisés de manière uniforme, pour tous les types affines symétriques, en termes du modèle des alcôves quantique. Nous enrichissons ce modèle en l’utilisant pour donner une réalisation uniforme de la $R$-matrice combinatoire, c’est à dire, l’isomorphisme des cristaux affines unique quit permute les facteurs dans un produit tensoriel des cristaux KR. En d’autres termes, nous généralisons pour tous les types de Lie le jeu de taquin de Schützenberger sur les tableaux de Young, qui réalise la $R$-matrice combinatoire dans le type $A$. Nous montrons aussi que le modèle des alcôves quantique ne dépend pas du choix d’une suite d’alcôves.