A temporal central limit theorem for real-valued cocycles over rotations

Abstract

On considere des marches aleatoires sur la droite reelle, engendres par des rotations irrationnelles, ou, de maniere equivalente, des produits croises d’une rotation par un nombre reel $\alpha$, dont le cocycle est une fonction constante par morceaux de moyenne nulle admettant un saut de un a une singularite $\beta$. Si $\alpha$ est mal approche par des rationnels et $\beta$ n’est pas bien approche par l’orbite de $\alpha$, nous demontrons une version temporelle du Theoreme de la Limite Centrale (ou un Temporal Central Limit theorem dans la terminologie qui a ete introduite recemment par D. Dolgopyat et O. Sarig). Plus precisement, nous montrons que, pour chaque point initial fixe, les variables aleatoires d’occupation, proprement renormalisees, tendent vers une variable aleatoire de loi normale. Ce resultat generalise un theoreme de J. Beck dans le cas sparticulier ou $\alpha$ est un nombre irrationnel quadratique, $\beta$ est un nombre rationnel et le point initial est l’origine. Ce resultat de Beck a ete montre avec de nouvelles methodes et etendu par Avila–Dolgopyat–Duryev–Sarig (Israel J. Math. 207 (2015) 653–717) et Dolgopyat–Sarig (J. Stat. Phys. 166 (2017) 680–713) a l’aide d’une renormalisation geometrique. Dans ce papier, nous utilisons aussi la renormalisation, mais, au lieu d’avoir recours a un argument geometrique, nous proposons d’utiliser l’algorithme de fraction continue avec une version dynamique de l’expansion de Ostrowski. Cela nous donne un codage symbolique qui nous permet de reduire le resultat principal a un theoreme de la limite centrale pour de chaines de Markov non-homogenes.