A scenario of the homotopy type changing of the invariant saddle manifold closure

Elena V Nozdrinova

doi:10.15507/2079-6900.22.202003.306-318

Abstract

The paper deals with surface gradient-like diffeomorphisms. The closures of the invariant manifolds of saddle points of such systems contain nodal points in their closure. In the case when there is only one such point, the closure of the invariant manifold is a closed curve that is homeomorphic to the circle. In a general case the conjugating homeomorphism changes the homotopy type of the closed curve, while the diffeomorphisms themselves may remain in the same isotopic class. This means that in the space of diffeomorphisms two such systems are connected by an arc, but every such arc necessarily undergoes bifurcations. In this paper, we describe a scenario for changing the homotopy type of the closure of the invariant saddle manifold. Moreover, the constructed arc is stable in the space of diffeomorphisms.

Highlights

Введение и формулировка результатаЧто диффеоморфизм f , заданный на замкнутом многообразии, является градиентно-подобным, если его неблуждающее множество Ωf состоит из конечного числа гиперболических точек и инвариантные многообразия различных седловых точек не пересекаются
A scenario of the homotopy type changing of the invariant saddle manifold closure
In the case when there is only one such point, the closure of the invariant manifold is a closed curve that is homeomorphic to the circle

Summary

Введение и формулировка результата

Что диффеоморфизм f , заданный на замкнутом многообразии, является градиентно-подобным, если его неблуждающее множество Ωf состоит из конечного числа гиперболических точек и инвариантные многообразия различных седловых точек не пересекаются. Диффеоморфизм f называется полярным, если множество Ωf содержит ровно две узловые точки, а именно одну стоковую и одну источниковую. Обозначим через G класс полярных градиентно-подобных диффеоморфизмов на двумерном торе T2, в предположении, что все неблуждающие точки неподвижны и имеют положительный тип ориентации. Неблуждающее множество Ωf диффеоморфизма f состоит в точности из четырех неподвижных гиперболических точек: стока ωf , источника αf и седел σf, σf2, замыкания инвариантных многообразий которых являются замкнутыми кривыми: cuf 1 = cl Wσuf1 = Wσuf1 ∪ ωf , csf1 = cl Wσsf1 = Wσsf1 ∪ αf , cuf 2 = cl Wσuf2 = Wσuf2 ∪ ωf , csf2 = cl Wσsf2 = Wσsf2 ∪ αf.

Существует единственная унимодулярная целочисленная матрица

Построение диффеоморфизма f0

Рождение седло-узловой точки

Поворот сепаратрисы седла σ2