A representation formula for large deviations rate functionals of invariant measures on the one dimensional torus

Abstract

Dans cet article, nous considerons une diffusion sur le tore de dimension 1 pour laquelle nous etablissons une formule simple pour la fonction de taux d’un principe de grandes deviations pour sa mesure invariante, lorsque le bruit tend vers 0. Cette fonction de taux a ete precedemment caracterisee par M. I. Freidlin et A. D. Wentzell comme la solution d’un probleme d’optimisation plutot complique. En reduisant ce probleme, nous etablissons notre formule a travers une transformation geometrique qui, a l’aide d’une construction de type Maxwell, cree des regions plates. Nous considerons egalement des processus de Markov deterministes par morceaux, sur le tore de dimension 1. Nous montrons que la fonction de taux, dans un principe de grandes deviations pour la mesure invariante, peut etre obtenue en considerant de nouveau la meme transformation geometrique. Inspires par ces similarites, nous prouvons un resultat d’universalite de cette transformation en montrant qu’elle engendre la solution de viscosite d’une equation d’Hamilton–Jacobi stationnaire, associee a un Hamiltonien H qui satisfait a certaines hypotheses minimales.