A remark on a lemma from Filippov’s article on diff tial inclusions

Evgenii Borisenko

doi:10.22405/2226-8383-2021-22-3-448-452

Abstract

The Filippov’s article discusses a possible definition of the solution of differential equation with discontinuous right-hand side. The lemma on the structure of the set defining differential inclusion given by Filippov implies an equivalent solution definition, which allows us to expand possible domains and codomains of the function, that is in the right-hand side of the equation. In this paper we find a generalization of this lemma to the case of general topologic and measure spaces. Proofs of corresponding theorems are given here.

Highlights

In this paper we find a generalization of this lemma to the case of general topologic and measure spaces
6. К.Куратовский, Топология, том 1, Москва, Мир, 1966

Summary

Введение

Рассмотрим пространство Rn с мерой Лебега μ. Пусть E – область в Rn, μ(E) ̸= 0. Оригинальная лемма статьи Филиппова формулируется следующим образом. Lemma 1 ([1],[2]). Пусть вектор-функция f (x) определена и измерима на множестве E. Тогда существует такое множество N0 меры нуль, что. В статье Филиппова [1] приведён лишь набросок доказательства. В книге [2] при обсуждении этой леммы используется теорема Лузина, которая требует введения топологии в области определения f. Мы докажем обобщенную версию леммы и, в частности, откажемся от этого требования. Поскольку в оригинальных работах Филиппова приведены лишь идеи доказательства и в виду того, что в последнее время появились работы по дифференциальным включениям в бесконечномерных пространствах (например, [3] и [4]), нам представляется, что данное обобщение может оказаться полезным

Основные теоремы

Благодарности