A criterion for the best uniform approximation by simple partial fractions in terms of alternance

Abstract

Рассматривается задача о наилучшем равномерном приближении непрерывных вещественных функций $f$ наипростейшими дробями порядка не выше $n$ на отрезке $S$ действительной оси. Получены аналоги классических полиномиальных теорем Чебышева и Валле-Пуссена. Доказано, что вещественнозначная наипростейшая дробь $R_n$ порядка $n$, полюсы которой лежат вне круга, имеющего диаметром отрезок $S$, является наипростейшей дробью наилучшего приближения $f$ в том и только в том случае, когда для разности $f-R_n$ на $S$ имеется чебышевский альтернанс из $n+1$ точек. При этом $R_n$ - единственная дробь наилучшего приближения. Показана точность ограничения на полюсы. Ранее частные случаи полученных теорем формулировались разными авторами только в виде гипотез. Библиография: 24 наименования.