A bijection for rooted maps on general surfaces (extended abstract)

Abstract

We extend the Marcus-Schaeffer bijection between orientable rooted bipartite quadrangulations (equivalently: rooted maps) and orientable labeled one-face maps to the case of all surfaces, orientable or non-orientable. This general construction requires new ideas and is more delicate than the special orientable case, but carries the same information. It thus gives a uniform combinatorial interpretation of the counting exponent $\frac{5(h-1)}{2}$ for both orientable and non-orientable maps of Euler characteristic $2-2h$ and of the algebraicity of their generating functions. It also shows the universality of the renormalization factor $n$<sup>¼</sup> for the metric of maps, on all surfaces: the renormalized profile and radius in a uniform random pointed bipartite quadrangulation of size $n$ on any fixed surface converge in distribution. Finally, it also opens the way to the study of Brownian surfaces for any compact 2-dimensional manifold. Nous étendons la bijection de Marcus et Schaeffer entre quadrangulations biparties orientables (de manière équivalente: cartes enracinées) et cartes à une face étiquetées orientables à toutes les surfaces, orientables ou non. Cette construction générale requiert des idées nouvelles et est plus délicate que dans le cas particulier orientable, mais permet des utilisations similaires. Elle donne donc une interprétation combinatoire uniforme de l’exposant de comptage $\frac{5(h-1)}{2}$ pour les cartes orientables et non-orientables de caractéristique d’Euler $2-2h$, et de l’algébricité des fonctions génératrices. Elle montre l’universalité du facteur de normalisation $n$<sup>¼</sup> pour la métrique des cartes, sur toutes les surfaces: le profil et le rayon d’une quadrangulation enracinée pointée sur une surface fixée converge en distribution. Enfin, elle ouvre à la voie à l’étude des surfaces Browniennes pour toute 2-variété compacte.