A bijection between noncrossing and nonnesting partitions of types A and B

Abstract

The total number of noncrossing partitions of type $\Psi$ is the $n$th Catalan number $\frac{1}{ n+1} \binom{2n}{n}$ when $\Psi =A_{n-1}$, and the binomial coefficient $\binom{2n}{n}$ when $\Psi =B_n$, and these numbers coincide with the correspondent number of nonnesting partitions. For type $A$, there are several bijective proofs of this equality; in particular, the intuitive map, which locally converts each crossing to a nesting, is one of them. In this paper we present a bijection between nonnesting and noncrossing partitions of types $A$ and $B$ that generalizes the type $A$ bijection that locally converts each crossing to a nesting. Le nombre total des partitions non-croisées du type $\Psi$ est le $n$-ème nombre de Catalan $\frac{1}{ n+1} \binom{2n}{n}$ si $\Psi =A_{n-1}$, et le coefficient binomial $\binom{2n}{n}$ si $\Psi =B_n$, et ces nombres son coïncidents avec le nombre correspondant des partitions non-emboîtées. Pour le type $A$, il y a plusieurs preuves bijectives de cette égalité; en particulier, la intuitive fonction, qui convertit localement chaque croisée en une emboîtée, c'est un d'entre eux. Dans ce papier nous présentons une bijection entre partitions non-croisées et non-emboîtées des types $A$ et $B$ qui généralise la bijection du type $A$ qui localement convertit chaque croisée en une emboîtée.