Свободные прямоугольные n-кратные полугруппы

Анатолий Владимирович Жучок

doi:10.22405/2226-8383-2019-20-3-261-271

Abstract

n-кратной полугруппой называется непустое множество G, снабженное n бинарными операциями $$\fbox{1}\,, \fbox{2}\,, ..., \fbox{n}\,,$$ удовлетворяющими аксиомам $$(x\fbox{r} \, y) \fbox{s}\, z=x\fbox{r}\,(y\fbox{s}\,z)$$ для всех $$x,y,z \in G$$ и $$r,s\in \{1,2,...,n\}.$$ Это понятие рассматривал Н.А.Корешков в контексте теории n-кратных алгебр ассоциативного типа. Доппельполугруппы являются 2-кратными полугруппами. n-кратные полугруппы имеют связи с интерассоциативными полугруппами, димоноидами, триоидами, доппельалгебрами, дуплексами, G-димоноидами и рестриктивными биполугруппами. Если операции n-кратной полугруппы совпадают, то она превращается в полугруппу. Таким образом, n-кратные полугруппы являются обобщением полугрупп. Класс всех n-кратных полугрупп образует многообразие. Недавно были построены свободная n-кратная полугруппа, свободная коммутативная n-кратная полугруппа, свободная k-нильпотентная n-кратная полугруппа и свободное произведение произвольных n-кратных полугрупп. Класс всех прямоугольных n-кратных полугрупп, то есть n-кратных полугрупп с n прямоугольными полугруппами, образует подмногообразие многообразия n-кратных полугрупп. В этой статье мы строим свободную прямоугольную n-кратную полугруппу и характеризуем наименьшую прямоугольную конгруэнцию на свободной n-кратной полугруппе.

Highlights

As a natural generalization of semigroups, n-tuple semigroups form an important variety of algebras arising from interassociative semigroups
Recall that an n-tuple semigroup [12] is a nonempty set G equipped with n binary operations 1, 2, ..., n, satisfying the axioms (x r y) s z = x r (y s z) for all x, y, z ∈ G and r, s ∈ {1, 2, ..., n}
Recall that two semigroups defined on the same set G are interassociative [6] provided that they satisfy the latter axioms for r, s ∈ {1, 2}

Summary

Introduction

As a natural generalization of semigroups, n-tuple semigroups form an important variety of algebras arising from interassociative semigroups. The notion of interassociativity for semigroups is of interest too (see, e.g., [3, 4, 6, 8, 9, 10]) It is known [22] that commutative dimonoids and commutative trioids provide subclasses in the variety of 2-tuple semigroups and 3-tuple semigroups, respectively. Some free systems in the variety of n-tuple semigroups were studied recently: the constructions of the free n-tuple semigroup, of the free commutative n-tuple semigroup and of the free k-nilpotent n-tuple semigroup were presented in [22] and [33], respectively. The main result of the paper is the construction of the free rectangular n-tuple semigroup of an arbitrary rank (Theorem 1). The results obtained in the present paper extend some results in [35]

Preliminaries

Main results

Findings

Conclusions