Аналіз кластерної структури Інтернет-мереж на основі випадкових матриць

Abstract

Основна увага надається оцінці оптимальної кількості кластерів для системи, що задається матрицею суміжності A з N вузлами при N→∞ . Розглянуто асимптотичний розподіл власних значень стохастичної випадкової матриці без умов незалежності елементів, спектр якої можна розкласти на регулярну частину та викиди. На основі припущень про однотипність зв’язків у кластері зроблено висновок про оптимальну кількість кластерів для різних прикладних задач. Проведено моделювання мережі зв’язків, що розподілені за законом Пуассона, та знайдено оптимальну кількість кластерів. Результати моделювання вказують на високу точність визначення оптимальної кількості кластерів. У основній теоремі важливим є припущення про існування моменту вище другого для кожного елементу матриці A. Проте, з урахуванням нормалізації, цю умову можна послабити до існування математичного сподівання матриці. Дане послаблення умов збіжності дає можливість використання доведеного твердження на ширший клас прикладних задач, де наявність скінченної дисперсії не вимагається. Зазначимо, що викиди є дійсними власними значеннями для нормалізованої матриці, що дозволяє швидко локалізувати викиди зі складністю O(N), де N — кількість вузлів системи. Отже, вдалося послабити два важливі припущення щодо розподілу елементів випадкової матриці, а саме припущення про рівність нулю математичних сподівань елементів матриці та про незалежність елементів матриці. Крім того, незалежність елементів можна замінити слабкою незалежністю, яка зберігає збіжність до середнього значення в законі великих чисел.