Дифференцирование функций кватернионной переменной

Надия Салихжановна Полякова

doi:10.22405/2226-8383-2019-20-2-298-310

Abstract

В данной работе рассматривается определение дифференцируемости и регулярностипо Фютеру [1–2] и примеры регулярных по Фютеру функций, приводится и определениеС-регулярности и С-производной или производной Куллена [3], на основе которой строитсяновая теория регулярных функций в [4], которая уже включает полиномы и сходящиеся ря-ды гиперкомплексной переменной как дифференцируемые функции. Затем предлагаетсяновое определение дифференцируемости, имеющее классический вид, но со специфиче-ской сходимостью, которое позволяет доказать теоремы о дифференцируемости суммы ипроизведения дифференцируемых функций, о дифференцируемости “частного” дифферен-цируемых функций. Далее выводится производная степени и доказывается дифференци-руемость полиномов и степенных рядов, что позволяет строить обобщения элементарныхфункций для кватернионных аргументов. Приводится пример, показывающий, что без спе-цифической сходимости приведенное определение дифференцируемости теряет смысл. Спомощью степенных рядов задаются функции, которые являются решениями дифферен-циальных уравнений с постоянными кватернионными коэффициентами. Рассматриваетсязадача отыскания корней квадратного уравнения с кватернионными коэффициентами, ко-торая возникает при решении дифференциальных уравнений

Highlights

In this paper it is considered the definition of differentiability and regularity by Fueter and examples
it is deduced the derivative of power
It is considered the problem of finding the roots of a square equation

Summary

Введение

Кватернионы имеют большие преимущества в задачах вращения твердого тела [5,6,7] и могут быть использованы в математической физике [8,9,10,11,12,13], поэтому задача построения анализа кватернионных функций является актуальной. Аналогично доказывается, что если f — голоморфная функция, то g = f ∘ k — тоже голоморфная Таким образом, линейная комбинация леворегулярных функций с кватернионными константами при умножении справа на эти константы остается леворегулярной. Для всякого нескалярного кватерниона q рассматривается двумерное линейное подпространство Lv0(q), являющееся линейной оболочкой вещественной оси и вектора v0(q) − единичного направляющего вектора векторной части кватерниона q, который представляется в виде: q = x + y · v0(q) (очевидно, x = q0 = |q| cos φ, y = |q| sin φ, где φ = arg q) и функция f (q) называется С-регулярной, если она вещественно дифференцируема и удовлетворяет уравнению. Что мы можем определить все элементарные функции в области кватернионов и что все голоморфные функции комплексной переменной переносятся в область кватернионов и при этом остаются голоморфными, то есть С-регулярными. Рассмотренное определение дифференцируемости имеет то важное достоинство, что включает в себя все регулярные функции комплексного переменного, но, все-таки, стоит заметить, дифференцирование идет далеко не по всем направлениям, выходящим из данной точки, а только по тем, у которых векторные части коллинеарны векторной части рассматриваемой точки

Еще один способ дифференцирования

Заключение