Точные равенства наближения функций класса Соболева их обобщенными интегралами Пуассона

Abstract

Решение задач о движении системы взаимодействующих материальных точек в большинстве случаев сводится как к обычным дифференциальным уравнениям, так и к уравнениям в частных производных. Одним из решений такого типа уравнений являются так называемые обобщенные интегралы Пуассона, которые в отдельных случаях превращаются в хорошо известные интегралы Абеля-Пуассона или бигармонические интегралы Пуассона. Существует ряд результатов по приближению различных классов дифференцируемых периодических и непериодических функций вышеупомянутыми интегралами (так называемая задача Колмогорова-Никольского в терминологии А.И. Степанця). Но практически во всех решенных задачах Колмогорова-Никольского как для интегралов Абеля-Пуассона, так и для бигармонических интегралов Пуассона с точки зрения математического моделирования (вычислительного эксперимента) существенный недостаток. Суть этого недостатка состоит в том, что в большинстве решенных ранее задач Колмо-горова-Никольского для интегралов Абеля-Пуассона и бигармонических интегралов Пуассона (в конечном итоге) был получен только главный и остаточный члены приближения, что существенно может влиять на точность вычислительного опыта. Данная работа посвящена получению чётких равенств приближения функций классов Соболева их обобщенными интегралами Пуассона. Итак, доказанная в работе теорема является обобщением и уточнением ранее известных результатов, характеризующих апроксимативные свойства интегралов Абеля-Пуассона и бигармонических интегралов Пуассона на классах дифференцируемых периодических функций. Особенностью решенной в работе задачи приближения для обобщенного интеграла Пуас-сона на классах дифференцирующих функций является то, что полученный результат удалось записать с помощью известных констант Ахиезера-Крейна-Фавара. Указанный факт значительно повышает точность результата математического моделирования (вычислительного эксперимента) любого реального процесса, описываемого с помощью обобщенного интеграла Пуассона. Эти результаты в дальнейшем смогут значительно расширить рамки применения задач Колмогорова-Никольского к математическому моделированию.