Задача с интегральным смещением для одномерного гиперболического уравнения

Abstract

Рассмотрена задача с нелокальным интегральным условием второго рода для одномерного гиперболического уравнения в прямоугольной области. Доказаны существование и единственность обобщенного решения задачи. Для доказательства существования и единственности обобщенного решения поставленной задачи предложен новый метод исследования задач с интегральными условиями. Предложенный в работе метод позволил отказаться от некоторых условий на входные данные, обеспечивающих разрешимость поставленной задачи, а именно от требования обратимости оператора, порождаемого нелокальным условием. Суть данного метода состоит в эквивалентной замене заданного нелокального условия другим, также нелокальным, но содержащим в качестве внеинтегрального члена значения выводящей производной неизвестной функции на боковой границе. Установленная эквивалентность условий позволила перейти к задаче, для доказательства однозначной разрешимости которой применен метод компактности, зарекомендовавший себя как эффективный метод исследования разрешимости начально-краевых задач и задач с нелокальными условиями. С помощью метода Галеркина построена последовательность приближенных решений. Для продолжения исследования разрешимости задачи получены априорные оценки решения в пространстве Соболева. С помощью выведенных оценок доказано утверждение о возможности выделить из построенной методом Галеркина последовательности приближенных решений подпоследовательность, которая слабо сходится к решению задачи. В процессе доказательства разрешимости поставленной задачи обнаружилась интересная связь нелокальных интегральных условий с динамическими условиями.