О приближении функций класса Зигмунда бигармоническими интегралами Пуассона

Abstract

Работа посвящена изучению поведения верхнего предела отклонения функций класса Зигмунда от их бигармонических интегралов Пуассона. Исследования в данном направлении проводились и проводятся систематически как отечественными, так и зарубежными учеными. Большинство полученных результатов относится к оценке отклонений функций того или иного класса от операторов, построенных с помощью треугольных методов суммирования рядов Фурье (Фейера, Валле Пуссена, Рисса, Рогозинского, Стеклова, Фавара и др.). Что касается результатов относительно линейных методов суммирования рядов Фурье, заданных с помощью множества функций натурального аргумента (Абеля-Пуассона, Гаусса-Вейерштрасса, бигармонического и трехгармонического интегралов Пуассона), то здесь успехи менее заметны. Возможно, это связано с тем, что упомянутые выше линейные методы суммирования рядов Фурье являются решениями соответствующих интегрально-дифференциальных уравнений эллиптического типа и поэтому требуют более трудоемких вычислений с целью получения для них определенных оценок, пригодных для их непосредственное использование в прикладных целях. Исследования, проведенные в данной работе, относятся к изучению апроксимативных характеристик линейных положительных операторов типа Пуассона на классах функций Зигмунда. Согласно хорошо известным результатам П.П. Коровкина именно эти положительные линейные операторы осуществляют наилучшее асимптотическое приближение функций класса Зигмунда. Таким образом, полученная в данной работе оценка отклонения функций класса Зигмунда от их бигармонических интегралов Пуассона (наименее исследованных и наиболее востребованных среди всех линейных положительных операторов) актуальна с точки зрения прикладной математики.