Дифференциальные игры дробного порядка с распределенными параметрами

Abstract

Изучена задача преследования в дифференциальных играх дробного порядка с распределенными параметрами. Частные дробные производные по времени и пространственные переменные рассматриваются в смысле Римана-Лиувилля, при аппроксимации применяется формула Грюн-вальда-Летникова. Рассматривается задача попадания в некоторой положительной окраине терминального множества. Для решения применяется способ конечных различий. Аппроксимируются дробные производные Римана-Лиувилля по пространственным переменным на отрезке с помощью формулы Грюнвальда-Летникова. По достаточному признаку существования дробной производной получена разностная аппроксимация производной дробного порядка по времени. Аппроксимируя дифференциальную игру на явную разностную, получаем дискретную игру. Сформулирована соответствующая задача преследования для дискретной игры, полученная с помощью аппроксимации непрерывной игры. Определено понятие возможности завершения преследования, дискретной игры в смысле точного поимки. Получены достаточные условия для завершения преследования. При этом показано, что порядок аппроксимации по времени равен единице, а по пространственным переменным — двум. Доказано, если в дискретной игре по заданному начальному положению возможно завершение преследования в смысле точного поимки, то в непрерывной игре из соответствующего начального положения возможно завершение преследования. Предложена структура построения управлений преследования, которая обеспечит завершение игры за конечное время. Методы, применяемые для этой задачи, могут быть использованы для изучения дифференциальных игр, описываемых более общими уравнениями дробного порядка.