Об одном методе решения нестационарных задач теплопроводности с несимметричными граничными условиями

Igor Vasilievich Kudinov,Игорь Васильевич Кудинов,Екатерина Васильевна Стефанюк,Геннадий Михайлович Синяев,Ekaterina Vasil'Evna Stefanyuk,Marina Petrovna Skvortsova,Марина Петровна Скворцова,Genady Mikhailovich Sinyaev,Евгения Валериевна Котова,Eugeniya Valerievna Kotova

doi:10.14498/vsgtu1476

Abstract

С использованием дополнительных граничных условий и дополнительной искомой функции в интегральном методе теплового баланса, получено приближенное аналитическое решение нестационарной задачи теплопроводности для бесконечной пластины при несимметричных граничных условиях первого рода. Решение имеет простой вид тригонометрического полинома с коэффициентами, экспоненциально стабилизирующимися во времени. С увеличением числа членов полинома получаемое решение приближается к точному. Введение зависящей от времени дополнительной искомой функции, задаваемой в одной из граничных точек, позволяет свести решение дифференциального уравнения в частных производных к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения. Дополнительные граничные условия находятся в таком виде, чтобы их выполнение искомым решением было эквивалентно выполнению исходного дифференциального уравнения в граничных точках. Показано, что выполнение уравнения лишь в граничных точках приводит к его выполнению и внутри области, минуя интегрирование по пространственной переменной, заменяемого выполнением искомым решением интеграла теплового баланса (осредненного дифференциального уравнения в частных производных). Отсутствие необходимости интегрирования исходного уравнения по пространственной переменной позволяет применять данный метод к решению нелинейных краевых задач с переменными начальными условиями и физическими свойствами среды и др.

Highlights

Using additional boundary conditions and additional required function in integral method of heat-transfer we obtain approximate analytical solution of transient heat conduction problem for an infinite plate with asymmetric boundary conditions of the first kind. This solution has a simple form of trigonometric polynomial with coefficients exponentially stabilizing in time
The additional boundary conditions are found in the form that the required solution would implement the additional boundary conditions and that implementation would be equivalent to executing the original differential equation in boundary points
In this article it is noted that the execution of the original equation at the boundaries of the area only leads to the execution of the original equation inside that area

Summary

Introduction

Для определения неизвестных коэффициентов bk будем использовать основное граничное условие (4), соотношение (5) и некоторые дополнительные граничные условия, задаваемые в точках ξ = 0 и ξ = 1 и определяемые таким образом, чтобы их выполнение искомым решением (6) было эквивалентно выполнению уравнения (1) в этих точках [1, 12,13,14]. + b4 cos Подставляя (34) в условия (4), (5), (23) (при i = 2), (24) (при i = 1), относительно неизвестных коэффициентов bk будем иметь систему четырёх алгебраических уравнений, из решения которой получаем b1 = B1q + 29B2q − 105B3, b2 = B1q + 37B2q + 35B3, (35)

Results

Conclusion