Abstract
On a manifold with an almost contact metric structure \((M, \vec{\xi}, \eta, \varphi,g)\) and an endomorphism \(N:D\rightarrow D\) the notion of an N-prolonged connection \(\nabla^N=(\nabla,N)\), where \(\nabla\) is an interior connection, is introduced. An endomorphism \(N:D\rightarrow D\) found such that the curvature tensor of the N-prolonged connection coincides with the Wagner curvature tensor. It is proven that the curvature tensor of the interior connection equals zero if and only if on the manifold \(M\) exists an atlas of adapted charts for that the coefficients of the interior connection are zero. A one-to-one correspondence between the set of N-prolonged and the set of N-connections is constructed. It is shown that the class of N-connections includes the Tanaka-Webster Schouten-van Kampen connections. An equality expressing the N-connection in the terms of the Levi-Civita connection is obtained. The properties of the curvature tensor of the N-connection are investigated; this curvature tensor is called in the paper the generalized Wagner curvature tensor. It is shown in particular that if the generalized Wagner curvature tensor in the case of a contact metric space is zero, then there exists a constant admissible vector field oriented in any direction. It is shown that the generalized Wagner curvature tensor may be zero only in the case of the zero endomorphism \(N:D\rightarrow D\).
Highlights
На многообразии с почти контактной метрической структурой (M, ξ⃗, η, φ, g) и эндоморфизмом N : D → D вводится понятие N-продолженной связности ∇N = (∇, N ), где ∇ — внутренняя связность
An endomorphism N : D → D found such that the curvature tensor of the N-prolonged connection coincides with the Wagner curvature tensor
It is proven that the curvature tensor of the interior connection equals zero if and only if on the manifold M exists an atlas of adapted charts for that the coefficients of the interior connection are zero
Summary
В последние годы на гладком многообразии M с почти контактной метрической структурой (M, ξ⃗, η, φ, g) все чаще, наряду со связностью Леви–Чивита, используются как метрические так и не метрические связности с кручением. В настоящей работе все линейные связности ∇⃗Nx , заданные на многообразии M с почти контактной метрической структурой (M, ξ⃗, η, φ, g) и однозначно определяемые условиями. Что в случае контактного многообразия тензор кривизны Вагнера совпадает с тензором кривизны некоторой связности в векторном расслоении (D, π, M ), пространством которого является распределение D контактной структуры (M, ξ⃗, η, φ). В настоящей работе, с одной стороны, конструкция Вагнера уточняется для случая многообразия с почти контактной метрической структурой, а с другой стороны, мы обобщаем построения Вагнера, используя наперед заданный эндоморфизм N : D → D. В четвертом разделе определяется обобщенный тензор кривизны Вагнера, и изучаются его свойства. Доказывается, что обращение в нуль обобщенного тензора кривизны Вагнера влечет существование постоянного допустимого векторного поля любого направления
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Free) 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call
