Abstract
Для исследования арифметических свойств значений обобщенных гипергеометрических функций с рациональными параметрами обычно применяют метод Зигеля. Этим методом были получены наиболее общие результаты, относящиеся к упомянутым свойствам.Основной недостаток метода Зигеля состоит в невозможности его применения к гипергеометрическим функциям с иррациональными параметрами. В этой ситуации исследование обычно основывается на эффективной конструкции функциональной приближающей формы (в методе Зигеля существование такой формы доказывается с помощью принципа Дирихле). Построение и исследование приближающей формы является первым шагом в сложном рассуждении, которое ведет к получению арифметического результата.Используя эффективный метод, мы сталкиваемся по крайней мере с двумя проблемами, которые в значительной степени сужают область его применимости. Во-первых, неизвестна более или менее общая конструкция приближающей формы для произведений гипергеометрических функций. Используя метод Зигеля, мы не имеем дела с такой проблемой. По этой причине приходится рассматривать лишь вопросы линейной независимости над тем или иным алгебраическим полем. Выбор этого поля является второй проблемой.Подавляющее большинство опубликованных результатов, относящихся к рассматриваемому кругу задач, имеет дело с мнимым квадратичным полем (или с полем рациональных чисел). Лишь в отдельных случаях удается провести соответствующее исследование для какого-либо другого алгебраического поля.Мы рассматриваем здесь случай вещественного квадратичного поля. С помощью специального технического приема мы устанавливаем линейную независимость значений некоторой гипергеометрической функции с иррациональным параметром над таким полем.
Highlights
The main deficiency of Siegel's method consists in the impossibility of its application
In this situation the investigation is usually based on the effective construction
in Siegel's method the existence of that form is proved by means of pigeon-hole principle
Summary
В частности, если λ ∈ Q, то при некоторых естественных ограничениях на λ и ξ доказана алгебраическая независимость чисел (2). При иррациональном λ известные методы, как правило, позволяют доказать лишь линейную независимость этих чисел над соответствующим полем, причем в этом случае участвующие в рассуждениях линейные приближающие формы обычно строят эффективно. В частности, из результатов работы [14] следует линейная независимость чисел (2) над мнимым квадратичным полем, если λ и ξ берутся из этого же поля. Эффективные конструкции линейных приближающих форм можно использовать также для изучения ситуации, в которой λ и ξ лежат не в мнимом квадратичном, а в каком-либо другом поле алгебраических чисел. В сформулированной теореме параметр λ и точка, в которой вычисляются значения функций Kj(z) лежат в вещественном квадратичном поле; аналогичная ситуация рассматривается и в теоремах 2 и 3 работы [23], но там речь идет о линейной независимости чисел (2) над полем.
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have