Рассеяние вихрей в абелевых моделях Хиггса на компактных римановых поверхностях

Abstract

Абелевы модели Хиггса на римановых поверхностях являются естественным обобщением абелевой $(2+1)$-мерной модели Хиггса на плоскости, возникающей в теории сверхпроводимости. В модели на плоскости ранее было доказано, что при «медленном» движении двух вихрей (нулей поля Хиггса) после лобового столкновения они испытывают рассеяние под прямым углом, а при симметричном столкновении $N$ вихрей под равными углами происходит рассеяние на угол $\pi/N$. В критическом случае (при значении параметра модели, равном единице) этот результат можно получить с помощью так называемого адиабатического принципа, который утверждает, что динамические решения модели с малой кинетической энергией могут быть приближены геодезическими на пространстве модулей статических решений в метрике, задаваемой кинетической энергией (кинетической метрике). Адиабатический принцип в абелевой $(2+1)$-мерной модели Хиггса в критическом случае был недавно строго обоснован. Хотя явный вид метрики не удается выписать даже в случае двух вихрей, наличие требуемых геодезических удается установить, пользуясь гладкостью метрики в координатах, задаваемых симметрическими функциями положений вихрей, и свойствами симметрии метрики. Локальный аналог этого результата можно доказать, пользуясь только гладкостью кинетической метрики. Это позволяет предположить, что локальный вариант утверждения о рассеянии $N$ вихрей на угол $\pi/N$ при симметричном столкновении переносится на случай моделей на римановых поверхностях. В работе показано, что наличие геодезических кинетической метрики, описывающих требуемое поведение вихрей, в моделях на компактных римановых поверхностях следует из гладкости кинетической метрики в симметрических координатах в окрестности точек столкновения всех вихрей. Указанное свойство гладкости доказано в случае компактных римановых поверхностей. Применив адиабатический принцип для моделей на римановых поверхностях, можно получить утверждение о локальном рассеянии медленно движущихся вихрей в динамических моделях на компактных римановых поверхностях. К сожалению, этот адиабатический принцип еще нуждается в строгом обосновании.