Об одной нелокальной краевой задаче с постоянными коэффициентами для многомерного уравнения смешанного типа

Abstract

Рассматривается многомерное уравнение смешанного типа первого рода второго порядка с некоторыми условиями, накладываемыми на его коэффициенты. Для этого уравнения доказываются однозначная разрешимость и гладкость решения нелокальной краевой задачи с постоянными коэффициентами в пространствах С. Л. Соболева $W_{2}^{l}(Q)$, ($2\le l $ - целое число). Сначала изучена однозначная разрешимость обобщeнного решения из пространства $W_{2}^{2}(Q)$. Единственность обобщeнного решения для поставленной задачи доказывается методом априорных оценок. Для доказательства существования обобщeнного решения задачи использован метод $\varepsilon$-регуляризации в сочетании с методом Галеркина. Использование полученных априорных оценок и применение теоремы о слабой компактности позволило с помощью предельного перехода получить решение рассматриваемого уравнения. Далее изучен вопрос гладкости обобщенного решения поставленной задачи.