Abstract
A boundary-value problem for 3-harmonic equation in a unit ball, containing in the boundary conditions the Laplacian levels up to the second order inclusively, and the normal derivative, is considered. This problem is a natural Neumann-type continuation of the Riquier problem for a 3-harmonic equation. The problem is more general than the considered one, but it has been researched before by V.V. Karachick and B. Torebek for a biharmonic equation. By the means of reducing the initial boundary-value problem to a system of three differential equations of the third order in harmonic equations in a unit ball of functions, the necessary and sufficient condition for solvability of the initial Neumann-type boundary-value problem is discovered. This condition is obtained as a vanishing of the integral over the unit sphere from one of the boundary functions of the problem. Besides, the method of theorem proof allows framing the solution of the considered Neumann-type problem in an explicit form. Moreover, it is determined in the article that solution of the initial boundary-value problem is unique up to an arbitrary constant.
Highlights
РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТИПА НЕЙМАНА ДЛЯ ТРИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ШАРЕРассматривается краевая задача для тригармонического уравнения в единичном шаре, содержащая в граничных условиях степени лапласиана до второго порядка включительно и нормальную производную.
Эта задача является естественным продолжением в стиле Неймана задачи Рикье для тригармонического уравнения.
Это условие получено в виде равенства нулю интеграла по единичной сфере от одной из граничных функций задачи.
Summary
Рассматривается краевая задача для тригармонического уравнения в единичном шаре, содержащая в граничных условиях степени лапласиана до второго порядка включительно и нормальную производную. Эта задача является естественным продолжением в стиле Неймана задачи Рикье для тригармонического уравнения. Это условие получено в виде равенства нулю интеграла по единичной сфере от одной из граничных функций задачи. В единичном шаре S рассмотрим следующую краевую задачу типа Неймана для однородного тригармонического уравнения. Для бигармонического уравнения такая задача является частным случаем задачи, исследованной в [3,4,5]. Под решением задачи (1)–(2) будем понимать такие тригармонические в S функции u(x), для которых ν ⋅ ∇u(x) → φ0 (s), ν ⋅ ∇∆u(x) → φ1(s) и ν ⋅ ∇∆2u(x) → φ2 (s) при x → s, где v – внутренняя нормаль в точке s ∈ ∂S, проходящая через точку x ∈ S.
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callMore From: Bulletin of the South Ural State University series "Mathematics. Mechanics. Physics"
Disclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
