Напрямки наукових дослiджень Ю.В. Козаченка: дослiдження розв’язкiв задач математичної фiзики з випадковими факторами

Abstract

Одним з напрямкiв наукових дослiджень Ю. В. Козаченка є рiвняння математичної фiзики з випадковими факторами. Цi фактори можуть мати рiзну природу: випадковi початковi умови, випадковi крайовi умови, випадкова права частина, випадковi коефiцiєнти i т. д. Умови та оцiнки збiжностi за ймовiрнiстю випадкових рядiв знаходять широке застосування при розв’язаннi задач математичної фiзики з випадковими умовами. Фiзичнi постановки таких задач розглядав Кампе де Фер’є . Вiн розглядав крайову задачу для рiвняння коливання струни з випадковими початковими умовами. У роботах В. В. Булдигiна показано, що вимога, щоб майже всi реалiзацiї випадкової початкової функцiї задовольняли умови, при яких є розв’язуваною детермiнована задача, значно звужує клас випадкових умов, за яких розв’язок iснує в класичному розумiннi. Є багато робiт, в яких вивчались задачi математичної фiзики з випадковими умовами, якi базуються на дослiдженнi збiжностi за ймовiрностю в функцiональних просторах послiдовностi випадкових функцiй, що апроксимують розв’язки крайових задач. Зауважимо, що у бiльшостi з цих робiт, для знаходження умов рiвномiрної збiжностi випадкових рядiв застосовується метод, що ґрунтується на iдеї Ж.Канаха. Булдигiним В.В. та Козаченком Ю.В. був запропонований метод, який дозволяє обґрунтовувати застосування методу Фур’є до задач математичної фiзики у багатовимiрному випадку. Метод, що ґрунтується на iдеї Кахана для цього випадку не пiдходить. У роботах Козаченка Ю.В. та його учнiв дослiджувалися рiвняння гiперпболiчного та параболiчного типiв математичної фiзики з випадковими факторами. Зокрема, вивчалися властивостi класичних та узагальнених розв’язкiв таких задач, було обґрунтувано застосування методу Фур’є, знайдено оцiнок для розподiлу супремуму розв’язкiв, та побудовано моделi розв’язкiв деяких задач, що наближають розв’язок iз заданою надiйнiстю та точнiстю в рiвномiрнiй метрицi. Всi цi результати мають не лише теоретичне, але й практичне застосування для подальшого вивчення та розвинення теорiї гiперболiчних i параболiчних рiвнянь математичної фiзики з випадковими факторами. Крiм того, цi результати дозволяють моделювати розв’язки крайових задач математичної фiзики iз заданою надiйнiстю та точнiстю в рiвномiрнiй метрицi, що може застосовуватися в наукових дослiдженнях в галузi радiотехнiки, фiзики, геофiзики, фiнансової математики, математичної економiки, в технiчних науках та в механiцi, зокрема, де використовуються методи комп’ютерного моделювання випадкових процесiв.