Аналог задачи $\Delta_1$ для гиперболического уравнения второго порядка в трехмерном евклидовом пространстве

Abstract

В трехмерном евклидовом пространстве рассматриваются уравнения второго порядка гиперболического типа. В бесконечной цилиндрической области, ограниченной характеристическими поверхностями данного уравнения, поставлена краевая задача с данными на смежных характеристических поверхностях уравнения и условиями сопряжения на внутренней нехарактеристической плоскости. На искомое решение налагается также условие обращения его в нуль при $z\to\infty$ вместе с производной по переменной $z$. Методом преобразования Фурье поставленная задача сводится к соответствующей плоской задаче $\Delta_1$ для гиперболического уравнения, которое в характеристических координатах является обобщенным уравнением Эйлера-Дарбу с отрицательным параметром. Авторами получены оценки как самого решения плоской задачи, так и его частных производных до второго порядка включительно. Это, в свою очередь, дало возможность на заданные граничные функции наложить условия, обеспечивающие существование классического решения поставленной задачи в виде преобразования Фурье.