Характеризация чисел Фибоначчи

Джузеппе Пирилло

doi:10.22405/2226-8383-2018-19-2-259-271

Abstract

В согласии с философско-математической мыслью ранних пифагорейцев, для заданных отрезков $s$ и $t$ мог быть найден отрезок $u$, содержащийся ровно $n$ раз в $s$ и $m$ раз в$t$ при некоторых подходящих числах $n$ и $m$. Справедливость этого положения была подвергнута самими же пифагорейцами при обнаружении ими несоизмеримости стороны и диагонали правильного пятиугольника. Это фундаментальное историческое открытие, прославившие Пифагорейскую школу, оставило <<забытым>> предшествующий ему этап исследований. Именно фаза поиска $u$, начатая многочисленными неудачными попытками и завершившаяся разработкой известной техники доказательства <<чётное-нечётное>>, является объектом нашей <<творческой интерпритации>> исследований Пифагора, которую мы приводим в этой статье. В частности, будет выявлена сильная связь между пифагорейским тождеством $b(b+a)-a^2=0$ относительно стороны $b$ и диагонали$a$ правильного пятиугольника и тождеством Кассини $F_{i}F_{i+2}-F_{i+1}^2=(-1)^{i}$ для трех последовательных чисел Фибоначчи. Более того, эти два тождества были обнаружены Пифагорейской школой <<почти одновременно>>, и, следовательно, числа Фибоначчи и тождество Кассини имеют пифагорейское происхождение. Нам не известны архивные документы (уже столь редкие для изучаемого периода!), касающиеся этого утверждения, но в статье приводятся ряд математических заключений в его подтверждение. Приведенный в работе анализ дает новую (и естественную) характеризацию чисел Фибоначчи, до сих пор отсутствующую в литературе.

Highlights

Let F0 = 1, F1 = 1 and, for n √2, Fn = Fn−2 + Fn−1 be the Fibonacci numbers
In this paper we reconsider two of our old questions: when, for the first time, the Fibonacci Numbers were mathematically well defined and who defined them? Conventional wisdom suggests that the Fibonacci Numbers were first introduced in 1202 by Leonardo of Pisa, better known today as Fibonacci, in his book Liber abbaci
The intent of this article is to offer a plausible conjecture on the origin of the Fibonacci Numbers

Summary

Introduction

Using elementary results on similar triangles, we reach the equalities β : α = α : (β + α) and β(β + α) = α2 Two such integers β and α do not exist by an old well-known odd-even argument: i) β and α both odd implies β(β + α) even and α2 odd (contradiction), ii) β odd and α even implies β(β + α) odd and α2 even (contradiction), iii) β even and α odd implies β(β + α) even and α2 odd (contradiction), iv) β and α both even using the Pythagorean Proposition 1, we retrieve one of the three previous cases i), ii) and iii) (contradiction).

Fibonacci numbers and their relation with incommensurability

Cassini identity and characterization of Fibonacci numbers

Conclusions