ХРОМАТИЧНЕ ЧИСЛО ФУНКЦІЇ

Abstract

Побудова на досліджуваній множині математичних об'єктів групової структури і використання її властивостей є одним з ефективних методів дослідження. Одним з центральних понять теорії груп є поняття гомоморфізму, яке виявляється дуже корисним при вивченні властивостей груп. Гомоморфізм - це відображення з однієї групи в іншу, яке зберігає групову операцію. У даній статті авторами побудований аналог поняття гомоморфізму на випадок, коли замість групової операції задається довільне, усюди визначене відображення f X X n : → . У статті докладно розглядається випадок, коли n = 2 і X ⊂ R . Дається визначення хроматичного числа цього відображення і наводяться приклади його обчислення. Наведені приклади хроматичних чисел деяких груп з необхідними поясненнями. Введено поняття хроматичного числа дійсної числової функції і показано, що це поняття тісно пов'язане з поняттям R - функції В.Л. Рвачева. Спираючись на відомі раніше результати, показано, що існують числові функції з нескінченними хроматичними числами. Для прикладу наведено хроматичні числа деяких функцій, дані пояснення отриманих результатів. Основним результатом цієї статті є доведення того факту, що лінійна функція двох дійсних змінних f (x, y) =αx + βy +γ ,αβ ≠ 0 не має скінченого хроматичного числа. Аналогічний результат доведений для функції ( ) 2 2 g x, y = x − y двох дійсних змінних. Таким чином, множину R неможна розфарбувати в скінчене число кольорів так, щоб колір значення функції αx + βy +γ , де αβ ≠ 0 однозначно визначався кольором її аргументів. Те ж стосується функцій 2 2 x − y і ax x x b n ... + 1 2 , де n >1, ab ≠ 0 . У термінах R - функцій отриманий результат можна сформулювати наступним чином: функції f (x, y) і g(x, y) (як і функція ax x x b n ... + 1 2 при n >1, ab ≠ 0 ) не можуть бути R - функціями ні при якому виборі супроводжуючих функцій багатозначної логіки. Таким чином, в даній статті введено поняття хроматичного класу і хроматичного числа функції. Знайдено зв'язок між отриманими поняттями і теорією груп. Продемонстровано, що поняття хроматичного числа функції на деякій множині тісно пов'язане з поняттям R - функції В.Л. Рвачева. Відзначено, що для доведення неізоморфності груп можна використовувати той факт, що для ізоморфних груп хроматичні числа і хроматичні класи, до яких вони належать, збігаються.