Конечная аксиоматизируемость квазинормальных модальных логик

Abstract

Квазиномальными модальными логиками называют логики в модальном языке, которые содержат логику ${\bf K}$, замкнуты по правилу modus ponens и для которых не постулирована
 замкнутость относительно правила Гёделя. До последнего времени этим логикам уделялось мало внимания, несмотря на то, что среди первых систем модальных логик, сформулированных К. И. Льюисом, содержались и квазинормальные логики. Здесь мы рассмотрим вопрос о конечной аксиоматизируемости квазинормальных модальных логик.
 
 Как известно, квазинормальный напарник логики ${\bf K}$ не имеет конечной аксиоматизации. Кроме того, существуют и другие модальные нормальные конечно-аксиоматизируемые логики, квазинормальные напарники которых не имеют конечной аксиоматизации, например логика ${\bf D}$. Поэтому вопрос о конечной аксиоматизируемости той или иной модальной квазинормальной логики нетривиален.
 
 Отметим, что известные частные критерии конечной аксиоматизируемости квазинормальных логик сформулированы только для квазинормальных напарников нормальных модальных логик.
 
 В данной работе получено обобщение этих частных критериев на случай произвольных квазинормальных модальных логик, попутно указана возможная аксиоматизация этих логик. Таким образом, получен частный критерий конечной аксиоматизируемости, общий как для квазинормальных напарников нормальных логик, так и для квазинормальных логик, которые таковыми не являются.
 
 Также в работе приведен алгоритм, который по относительной аксиоматизации квазинормальной логики $L$ над квазинормальным вариантом логики ${\bf K}$ дает абсолютную аксиоматизацию логики $L$.
 
 Отдельно рассмотрены аксиоматизации расширений логики ${\bf K4}$. Сформулирован частный критерий конечной аксиоматизируемости расширений этой логики. Приведен алгоритм, который по относительной аксиоматизации квазинормальной логики $L$ над квазинормальным вариантом логики ${\bf K4}$ дает абсолютную аксиоматизацию логики $L$.