Abstract

The paper deals with a new object of study --- hyperbolic Hurwitz zeta function, which is given in the right \(\alpha\)-semiplane \( \alpha = \sigma + it \), \( \sigma> 1 \) by the equality $$ \zeta_H(\alpha; d, b) = \sum_{m \in \mathbb Z} \left(\, \overline{dm + b} \, \right)^{-\alpha}, $$ where \( d \neq0 \) and \( b \) --- any real number. Hyperbolic Hurwitz zeta function \( \zeta_H (\alpha; d, b) \), when \( \left\| \frac {b} {d} \right\|> 0 \) coincides with the hyperbolic zeta function of shifted one-dimensional lattice \( \zeta_H (\Lambda (d, b) | \alpha) \). The importance of this class of one-dimensional lattices is due to the fact that each Cartesian lattice is represented as a union of a finite number of Cartesian products of one-dimensional shifted lattices of the form \( \Lambda (d, b) = d \mathbb{Z} + b \). Cartesian products of one-dimensional shifted lattices are in substance shifted diagonal lattices, for which in this paper the simplest form of a functional equation for the hyperbolic zeta function of such lattices is given. The connection of the hyperbolic Hurwitz zeta function with the Hurwitz zeta function \( \zeta^* (\alpha; b)\) periodized by parameter \(b\) and with the ordinary Hurwitz zeta function \( \zeta (\alpha; b) \) is studied. New integral representations for these zeta functions and an analytic continuation to the left of the line \( \alpha = 1 + it \) are obtained. All considered hyperbolic zeta functions of lattices form an important class of Dirichlet series directly related to the development of the number-theoretical method in approximate analysis. For the study of such series the use of Abel's theorem is efficient, which gives an integral representation through improper integrals. Integration by parts of these improper integrals leads to improper integrals with Bernoulli polynomials, which are also studied in this paper.

Highlights

  • ВведениеТеория гиперболической дзета-функции решёток излагается в монографиях [23], [13] и [2], которые опираются на результаты из работ [4]– [7], [10]– [17], [24], [25].

  • В работе [16] получена новая асимптотическая формула для гиперболической дзетафункции алгебраической решётки квадратичного поля.

  • Таким образом теория развивается как для произвольной размерности s, так и для конкретных значений, а именно, для s = 2.

Read more

Summary

Введение

Теория гиперболической дзета-функции решёток излагается в монографиях [23], [13] и [2], которые опираются на результаты из работ [4]– [7], [10]– [17], [24], [25]. В работе [16] получена новая асимптотическая формула для гиперболической дзетафункции алгебраической решётки квадратичного поля. Таким образом теория развивается как для произвольной размерности s, так и для конкретных значений, а именно, для s = 2. В настоящей работе внимание сосредоточено на одномерном случае, так как логика развития теории показала, что именно к этому случаю естественно сводится вся теория гиперболической дзета-функции декартовых решёток. В большой обзорной работе [3] и в работе [34] приводятся последние достижения в этой теории — даётся вывод функционального уравнения для дзета-функции произвольной декартовой решётки. В последнем разделе этой работы даётся список актуальных нерешенных проблем теории гиперболической дзета-функции решёток. Одной из таких проблем — получению аналитического продолжения и выводу функционального уравнения для гиперболической дзета-функции Гурвица — посвящена данная работа. Из контекста видно, что речь идет об обозначении Коробова, а не об комплесносопряженном числе

Цели и содержание работы
Полиномы Бернулли и несобственные интегралы с ними
Множитель Римана
Аналитическое продолжение дзета-функции Гурвица второго рода
Гиперболическая дзета-функция Гурвица
Дзета-функция сдвинутой решетки
Интегральные представления
Одномерный случай
Двумерный случай
Заключение
Full Text
Published version (Free)

Talk to us

Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have

Schedule a call